Formulas

Una fórmula es una forma breve de expresar información de modo simbólico , o una relación general entre cantidades.

Una de las fórmulas más famosas es la de Albert Einstein, sobre la teoría de la relatividad,
E = mc2.

En un sistema formal, una fórmula bien formada, también llamada expresión bien formada, y a menudo abreviada fbf o EBF, es una cadena de caracteres o palabra generada según una gramática formal a partir de un alfabeto dado.

Un lenguaje formal se define como el conjunto de todas sus fórmulas bien formadas.

En Geometría, Estadística y otras ramas de las Matemáticas, una fórmula es una ecuación que relaciona constantes o variables matemáticas y que se expresa mediante una igualdad matemática.

Existen fórmulas para el cálculo de las áreas de los polígonos regulares.

Procedimientos Y Resultados

La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero.

Derivada de una constante por una función

La derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función.

Es un método de ejecución o pasos a seguir, en forma secuenciada y sistemática, en la consecución de un fin. El conjunto de procedimientos con un mismo fin, se denomina sistema. Los procedimientos matemáticos nos permiten llegar a soluciones numéricas razonadas. El primer procedimiento matemático es contar, y el cálculo nos permite aplicar adecuadamente reglas, usando operaciones sencillas, para obtener el resultado buscado.

Determinación de diferenciales

El cálculo diferencial es una parte del análisis de expresión oral que consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes de las funciones o campos objeto del análisis.

El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada.

Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial de una función.

Interpretación Gráfica de la Diferencial de la Variable Dependiente.

Cuando surgen cuestiones concernientes a la razón entredós cantidades variables, entramos en los dominios del Cálculo Diferencial.

Son por tanto objeto de estudio del cálculo diferencial temas como la velocidad (razón entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla) de una partícula en un momento determinado, la pendiente (razón entre la diferencia de las ordenadas y las abscisas de dos puntos en el plano cartesiano) de la recta tangente a una gráfica en un punto dado de ésta, etc.

Incrementos: cuando una cantidad variable pasa de un valor inicial a otro valor, se dice que ha tenido un incremento. Para calcular este incremento basta con hallar la diferencia entre el valor final y el inicial.

Para denotar esta diferencia se utiliza el símbolo Dx, que se lee “delta x”.

El incremento puede ser positivo o negativo, dependiendo de si la variable aumenta o disminuye al pasar de un valor a otro.

Definición de la diferencia de la variable independiente y dependiente.

El término variable se puede definir como toda aquella característica o cualidad que identifica a una realidad y se puede medir, controlar y estudiar mediante un proceso de investigación.

La posibilidad de poder medir, controlar o estudiar una variable, es decir una característica de la realidad es por el hecho que esta característica varía, y esa variación se puede observar, medir y estudia.

Por lo tanto, es importante, antes de iniciar una investigación, saber cuáles son las variables que se desean medir y la manera en que se hará. Una variable puede tomar diferentes valores dependiendo del enfoque, que le dé, el investigador.

Estos valores pueden ser desde el enfoque cuantitativo o desde el enfoque cualitativo.

Reglas de diferenciación

Calculo de anti derivadas

La anti derivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.

Por ejemplo:

Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una anti derivada de f(x). Observe que no existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra anti derivadas de f(x).

La anti derivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.

Formulas de integrales inmediatas

Tabla de integrales inmediatas, se presentan los distintos tipos de integrales y las fórmulas que hay que aplicar para resolverlas. Página web con ideas, conceptos y ejercicios de análisis. .

Tipos de integrales	Función simple	Función compuesta	Ejemplos de integrales

Constante
Potencial			Potencial
Logarítmico			Logarítmico
Exponencial			Exponencial
Seno			Seno
Coseno			Coseno
Tangente			Tangente
Cotangente			Cotangente
Arco seno			Arco seno

Solución de problemas

Resolución de problemas es la fase que supone la conclusión de un proceso más amplio que tiene como pasos previos la identificación del problema y su modelado.

Por problema se entiende un asunto del que se espera una solución que dista de ser obvia a partir del planteamiento inicial. El matemático G.H. Wheatley lo definió de forma ingeniosa: «La resolución de problemas es lo que haces cuando no sabes qué hacer».1

La resolución de problemas reside principalmente en dos áreas: la resolución de problemas matemáticos y la resolución de problemas personales —en los que se presenta algún tipo de obstáculo a su resolución—,2 mientras que los fundamentos son estudiados en psicología del pensamiento, ciencia cognitiva y teoría de la decisión.

Diariamente es necesario enfrentar problemas y conflictos a los cuales se les deben encontrar soluciones aceptables de acuerdo al contexto. El proceso de solucionar problemas implica una serie de capacidades y habilidades del pensamiento que es importante desarrollar y evaluar en la preparación académica.

La resolución de problemas es una actividad cognitiva que consiste en proporcionar una respuesta-producto a partir de un objeto o de una situación.

Una de las capacidades más importantes en la resolución de problemas es la de hacer preguntas que permitan surgir de un conflicto y sortear la dificultad, algunas preguntas pueden servir para identificar el problema, otras para buscar alternativas, etc.

Ejercicios con el método de:

Cambio de variable.

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Por parte

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

Fórmula de la integral por partes

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trigonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

Fracciones parciales

El método de las fracciones parciales consiste en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado. Se utiliza principalmente en cálculo integral. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el del numerador.

Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones más simples.

Hay tres casos:

1)Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal.

2)Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido.

3)Descomposición en fracciones parciales con un factor cuadrático irreducible.

Procedimiento para:

Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal.

Paso 1:

Siempre me debo de fijar si el grado de la función del numerador es menor que la del denominador. Si es mayor debo realizar una división larga para bajar el grado de la función del numerador.

Paso 2:

Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales, px +q, o factores cuadráticos irreductibles, , y agrupar los factores repetidos para que la función del denominador sea un producto de factores diferentes de la forma , donde o los números m y no pueden ser negativos.

Paso 3:

Si son Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un factor lineal repetido.

Problemas con algún contexto de.

Ciencia

Partimos de la aceptación de que los problemas, en la enseñanza de la física, tienen como principal objetivo lograr de los alumnos habilidades en idear estrategias de razonamiento, organizar procedimientos, efectuar análisis crítico de resultados y adquirir criterios de evaluación y estimación de situaciones físicas. Para efectuar esto los alumnos tienen que utilizar conocimientos teóricos que se supone ya conoce. El objetivo a largo plazo es que los problemas les enseñan a resolver futuras situaciones problemáticas en otras áreas del conocimiento o de la actividad humana.

Ingeniera

La integral definida es un concepto relevante para abordar una amplia gama de problemas que los estudiantes de Ingeniería utilizan en su programa de estudios. Está presente en diversos contenidos y se requiere en actividades de aprendizaje a lo largo de su formación universitaria. Para llevar a cabo estas actividades, los alumnos deben tener una sólida comprensión de este concepto. Es necesario identificar las dificultades que los estudiantes encuentran al aprenderlo para diseñar actividades de enseñanza que logren en el estudiante un aprendizaje más sólido. El uso de los CAS , en nuestro caso el software Derive, genera y opera distintas representaciones del concepto que pueden ayudar a su comprensión. Uno de los aspectos relacionados con el concepto de la integral definida tiene que ver con el tipo de respuesta que dan los estudiantes a problemas en diversos contextos. Se entiende como "problemas en diversos contextos" tanto los planteados en el ámbito estrictamente matemático como las aplicaciones a otras ciencias (Gravemeijer y Doorman, 1999, pp. 111-129).

Administración

Estos problemas se diseñan de tal modo que el alumno se ve obligado a preparar una estrategia organizada en forma lógica y no puede aplicar las ecuaciones y obtener resultados en forma automática y sin comprender para qué lo hace, como comúnmente suele ocurrir. Todos sabemos que con esta práctica los alumnos no aprenden lo esencial de la física.

Estos problemas obligan al alumno a considerar y aplicar los conceptos físicos dentro de un contexto concreto insertado en el mundo real.

Obliga al alumno a tomar una serie de decisiones.

Otra característica importante de este tipo de problemas es que el alumno debe usar los conceptos en forma cualitativa,cantidades.

Antes que una eventual aplicación a ecuaciones con Administración

Soluciones por Cambio de Variable

Un cambio de variable es una técnica empleada en matemática para resolver algunas ecuaciones o sistemas de ecuaciones de grado superior a uno, que de otra forma sería más complejo resolver. Mediante este sistema se da paso a una ecuación equivalente, y, una vez resuelta, se deshace el cambio para obtener el valor de la incógnita inicial. Se emplea en los siguientes casos:

Ecuaciones bicuadradas

Ecuaciones de tercer grado

Ecuaciones de cuarto grado

Ejemplo: resolución mediante cambio de variable:

Existen tres tipos de ecuaciones exponenciales; en el segundo caso pueden reducirse a una de segundo grado. Es el caso de 9^x - 7 \cdot 3^x - 18 = 0 \,. Se siguen los siguientes pasos:

Se factoriza 9 en 32 para que tenga la misma base que 7 · 3x:

Consiste en igualar una parte del integrando a una nueva variable, por ejemplo u, llamada variable auxiliar. Luego de esto, se debe calcular la derivada de la variable auxiliar y realizar las operaciones necesarias, para que ni en el integrando ni en el diferencial, aparezca alguna expresión en términos de la variable original. A esto se le denomina cambio de variable (CDV).

Luego de hacer efectivo el CDV, por lo general, se obtienen integrales más sencillas que la original, las cuales se resuelven aplicando lo aprendido en el método anterior. Por esta razón, es necesario que el lector haya estudiado detalladamente dicho método puesto que en la solución de los ejemplos de esta parte de la obra, no se incluye una explicación específica de este contenido que ya debe ser parte de sus redes conceptuales.

Es importante señalar que el resultado de la integración, debe estar en función de las variables originales por lo que se acostumbra a emplear el término “devolviendo el cambio de variable” para reseñar el proceso mediante el cual la variable auxiliar desaparece de la respuesta definitiva.

Solución por facciones parciales

El método de las fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinomios en fracciones más simples, que permitan obtener de manera inmediata una integral o una transformada de Laplace Inversa. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el grado del numerador.

Definimos fracciones parciales a la función F(x) en la cual dicha función depende de un numerador y un denominador. Para que sea una fracción parcial el grado del denominador tiene que ser mayor al grado del numerador.

Las integrales por fracciones parciales es de la forma

donde:

-P(x) y Q(x) son polinomios

-El grado de P(x) es menor que el de Q(x).

Solución por sustitución trigonométrica

La integración por sustitución trigonométrica sirve para integral de funciones que tienen la siguiente forma

\sqrt {a^2 - u^2}

\sqrt{a^2 + u^2}

\sqrt{u^2 - a^2}

Este método se basa en el uso de triángulos rectángulos, el teorema de Pitagoras e identidades trigonométricas.

En el caso general la integral a resolver es:

\int R (x,\sqrt{ax^2+bx+c}) dx

Simplifiquemos paso a paso el término de la raíz, primeramente sacaremos

a

factor común, y operaremos para poder dejarlo como suma de cuadrados.

\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a\cdot \left ( x^2+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a} \right )}=\sqrt{a\cdot \left ( x^2+2\cdot \frac{bx}{2a}+\frac{c}{a} \right )}=\sqrt{a\cdot \left ( x^2+2\cdot \frac{bx}{2a}+\frac{c}{a}+\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 -\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 \right )}=

=\sqrt{a\cdot \left ( \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2+ \left ( \frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2} \right ) \right )}=\sqrt{a\cdot \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2+c-\frac{b^2}{4a}}

De esta forma estaremos en tres situaciones posibles:

$a>0$ Λ $c-\frac{b^2}{4a}>0$ es decir: $\sqrt{m^2 \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2+n^2}$
$a>0$ Λ $c-\frac{b^2}{4a}<0$ es decir: $\sqrt{m^2 \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2-n^2}$
$a<0$ Λ $c-\frac{b^2}{4a}>0$ es decir: $\sqrt{n^2-m^2 \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2}$

teniendo la forma las ecuaciones conocidas: con

 $u=m \left ( x+\frac{b}{2a} \right)$

Estos los cambios que hay que realizar según la situación:

$\sqrt{u^2+n^2};\quad u=n\cdot \tan t$
$\sqrt{u^2-n^2};\quad u=n\cdot \sec t$
$\sqrt{n^2-u^2};\quad u=n\cdot \sin t$

La integral de esta forma, se transforma en una integral trigonométrica en

t

, se resuelve y se deshace el cambio.

Solución por tablas

Trigonométrica

El uso de la trigonométrica en los cálculos de geometría exige el poder calcular sus variables con cierta precisión, una forma de hacer estos cálculos es mediante el uso de la tabla trigonométrica o tabla de senos, estas tablas son una herramienta sencilla y de uso muy general.

Veamos una tabla trigonométrica y su modo de uso, para el calculo de las funciones trigonométricas.

Exponenciales y logarítmicas

La invención de los logaritmos (palabra de origen griego: logos (logos) = tratado, arithmos (ariqmos) = números), se debe al matemático escocés John Napier, barón de Merchiston (1550-1617), quien se interesó fundamentalmente por el cálculo numérico y la trigonometría. En 1614, y tras veinte años de trabajo, publicó su obra Logarithmorum canonis descriptio, donde explica cómo se utilizan los logaritmos, pero no relata el proceso que le llevó a ellos. Un año después, en 1615, el matemático inglés Henry Briggs (1561-1631), visitó a Napier y le sugirió utilizar como base de los logaritmos el número 10. A Napier le agradó la idea y se comprometieron a elaborar las tablas de los logaritmos decimales. Napier muere al cabo de dos años escasos y se queda Briggs con la tarea.

En esta Unidad estudiaremos y analizaremos las funciones y ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Comenzaremos con las funciones exponenciales para luego continuar con ecuaciones exponenciales. La necesidad de resolver ecuaciones exponenciales trae consigo hallar la función inversa de la función exponencial y es donde toma sentido la función logaritmo.

Repasaremos algunas propiedades de los logaritmos para centrarnos en resolver ecuaciones logarítmicas y situaciones problemáticas donde se encuentren involucradas ecuaciones tanto
exponenciales como logarítmicas.

ALGEBRAICAS

El uso de la trigonometría en los cálculos de geometría exige el poder calcular sus variables con cierta precisión, una forma de hacer estos cálculos es mediante el uso de la tabla trigonométrica o tabla de senos, estas tablas son una herramienta sencilla y de uso muy general.

Veamos una tabla trigonométrica y su modo de uso, para el calculo de las funciones trigonométricas.

Esta tabla de doble entrada determina el seno de un ángulo, dado en grados sexagesimales, desde 0 a 45 grados, a intervalos de 0,1 grado o 6 minutos de grado, según se puede ver en las dos filas superiores, en la primera como el primer decimal, y en la segunda como minutos de grado.

En la columna de la izquierda vienen los grados, en la fila superior las fracciones de grado en intervalos de 0,1 de grado, o en minutos a intervalos de 6 minutos, de grado sexagesimales, donde se cruzan la fila y columna correspondientes podemos encontrar el valor del seno del ángulo, expresado con seis cifras decimales, separadas de tres en tres por un espacio en blanco, para facilitar la lectura.

IRRACIONALES

Las ecuaciones irracionales, o ecuaciones con radicales, son aquellas que tienen la incógnita bajo el signo radical. Para resolver una ecuación irracional se recomienda seguir los siguientes pasos:

1) Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales

2) Se elevan ambos miembros de la ecuación al índice que posea la raíz.

3) Se resuelve la ecuación obtenida.

4) Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial.

Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación (Se dice que al elevar ambos miembros al cuadrado podemos estar añadiendo una solución ficticia).

El sistema de los números racionales (ℚ, +, •, ≤) tiene estructura de cuerpo ordenado conmutativo, en el que toda ecuación lineal tiene solución. Si bien el orden muestra una cierta incompletita: existen subconjuntos acotados superiormente que carecen de supremo.

Así podríamos definir los números irracionales, como supremos de ciertos conjuntos acotados superiormente de números racionales.

Calculo de ecuaciones diferenciales

De variables separables

Se dice que una ecuación diferencial se puede separar si es posible escribir la ecuación en la forma El factor integrante, es decir, si multiplicamos esta expresión por esta cantidad tendremos

Iniciaremos nuestras técnicas de solución a ED con las ecuaciones más sencillas de resolver. Este

tipo de ecuaciones son resueltas directamente mediante una o dos integraciones. Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden

1) Calcula, por separación de variables, la solución general de las siguiendo o tres ecuaciones de primer orden. Además, en caso de dar condiciones iniciales, a determina las soluciones de los problemas de valor inicial (PVI) as´ como su ı intervalo máxima de deﬁnición. o 1). . . . . . . . . . . 2). . . . . . . . . . . 3). . . . . . . . . . . 4). . . . . . . . . . . 5). . . . . . . . . . . dy dx dy dx dy dx dy dx dy dx x2 + 1 , y(−3) = 4, 2 − 2y x =− , y(1) = 2 y 3x + 3xy 2 =− 2 . yx + 2y x2 + x2 y 2 = . y 2 + x2 y 2 x + xy 2 = , y(1) = 0. 4y = y(−3) = −2.

2) La ecuación o dy 4y 2 − x4 =, dx 4xy no es separable. Comprueba que la transformaci´n y → v dada por y = vx o convierte la ecuación anterior en otra de variables separables. Resuelve la o nueva ecuación y calcula la solución general de la ecuación original. o o o

Resolución de problemas aplicados en diferentes contextos

Ciencia e Ingeniería

Ciencia e Ingeniería es patrocinada por la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Los Andes, con miras a estimular los esfuerzos científicos, tecnológicos, docentes y de extensión, de los Miembros de la Comunidad Universitaria y Merideña en general.

Se pretende poner a disposición de docentes, investigadores y profesionales, de las ramas básicas y aplicadas de la Ingeniería, un medio de promoción y difusión que les dé la oportunidad de dar a conocer el fruto de sus trabajos y les permita expresar sus opiniones respecto a cualquier actividad fundamental de la Universidad. La PUCP participará del evento internacional “Las 24 horas de la Innovación”, en la cual grupos de estudiantes de decenas de países competirán para encontrar soluciones innovadoras a desafíos y necesidades colocadas por empresas alrededor del mundo.

Economía y administración

Una vez definidos los principales conceptos que manejarnos, debe precisarse la relación que existe entre ellos, empezando con la existente entre macro economía y micro economía. Así, la macro economía se refiere al estudio de los grandes agregados de la economía nacional como la producción nacional, el ingreso nacional, el nivel de precios y de empleo, etcétera. Para que se puedan dar magnitudes económicas totales o nacionales, se requiere realizar las actividades económicas de producción, distribución, cambio y consumo a cargo de las entidades llamadas empresas y consumidores.

Precisamente la micro economía estudia estas unidades económicas que permiten la realización de la cadena económica que va de la producción al consumo, cuya integración total forma la economía nacional estudiada por la macro economía. Si ignorásemos alguna de ellas, sería aprender las cosas a medias. Ni siquiera podemos decir que una preceda a la otra.

En la actualidad cuando se tienen amplios conocimientos de macro economía, también se cuenta con un importante acervo de enunciados teóricos acerca de la micro economía, lo cual permite aplicar principios económicos para resolver problemas empresariales mediante la adecuada toma de decisiones.

UNIDAD 2

Determinación de la integral

La integral definida se representa por

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Notación Sumatoria y Sumas de Riemann

En matemáticas se requiere la suma de grandes cantidades de datos y es pertinente tener una notación simplificada para indicar la suma de estos datos. Así, si una variable se puede denotar por X, entonces las observaciones sucesivas de esta variable se escriben:

X₁ +X₂ +X₃ +…+X_n

En general, la i-ésima observación se escribe X ; i=1, ..., n.

La letra griega sigma mayúscula (∑ ) se emplea para indicar la suma de estas n observaciones_.

La notación se lee

Suma de X sub-i (ó sigma sub-i) donde i asume todos los valores de 1 hasta n, ó simplemente suma de X sub-i donde i va de 1 a n.

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las integrales definidas que ayudarán a evaluarlas con más facilidad.

donde c es una constante

2) Si f y g son integrables en [a, b] y c es una constante, entonces las siguientes propiedades son verdaderas:

(se pueden generalizar para más de dos funciones)

3) Si x está definida para x = a entonces

= 0

4) Si f es integrable en [a, b] entonces

5) Propiedad de aditividad del intervalo: si f es integrable en los dos intervalos cerrados definidos por a, b y c entonces

APLICACIÓN DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que l la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímides, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leíbniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes , hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.

Una consecuencia directa de este teorema es la reglas de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.

Calculo de integrales

Calculo de la integral definida por métodos

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Considérese una piscina. Si es rectangular y de profundidad uniforme, entonces, a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el área de la superficie (para cubrirla), y la longitud de su borde (si se requiere saber su medida). Pero si es ovalada con un fondo redondeado, las cantidades anteriores no son sencillas de calcular. Una posibilidad es calcularlas mediante integrales.

Formulas directas

Muchas veces se puede aplicar la relación dada en el teorema fundamental del cálculo. Esto es cuando se conoce una función cuya derivada es f(x), entonces la función es el resultado de la anti derivada. Este método requiere del uso de las propiedades de las operaciones dado el caso de la integral, como las propiedades de la potenciación, radicación y demás operaciones primarias y secundarias. Este método de resolución requiere una tabla de funciones y sus anti derivadas.

Integrales por sustitución o cambio de variable

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Por partes

El método de integración por partes se basa en la derivada de un producto y se utiliza para resolver algunas integrales de productos.

Tenemos que derivar u e integrar v', por lo que será conveniente que la integral de v' sea inmediata.

Las funciones poli nóminas, logarítmicas y arco tangente se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trigonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

Economía y administración Por Fracciones Parciales:

Cálculo de Integrales Indefinidas "Por Fracciones Parciales" Recibe el nombre de fracción racional una expresión de la forma, donde P(x) y Q(x) son polinomios.

Calculo de áreas

Con una función

Área entre una función positiva y el eje de abscisas

Si la función es positiva en un intervalo [a, b ] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

Entre dos funciones

El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.

Calculo de áreas de figuras planas

Bajo eje x

Para calcular el área de una región plana que se encuentra bajo una función y sobre el eje X se utiliza la integral definida de dicha función; en este caso en particular la integral estará limitada por las rectas X = 1 y X = 3.

Esta consideración no representa ningún problema en el cálculo del área.

Simplemente este signo negativo nos indica que es un área que está debajo del eje X pero el área es la cantidad calculada con signo positivo.

Sobre el eje x

Cómo calcular el área de una figura o región plana con la utilización de la integral definida.

Es bueno aclarar que cuando aplicamos la integral definida en las áreas que están ubicadas sobre el eje X el resultado lo obtendremos con signo positivo, mientras que en las áreas que están debajo del eje X el resultado lo obtendremos con signo negativo. Esta consideración no representa ningún problema en el cálculo del área. Simplemente este signo negativo nos indica que es un área que está debajo del eje X pero el área es la cantidad calculada con signo positivo.